【UnityShader】レイマーチング入門【2】 #33

前回の成果

レイマーチング入門を行った。

soramamenatan.hatenablog.com

今回やること

前回はただ白くしただけだったので、そこにライティングを加えていきます。

gurutaka-log.com

事前準備

前回と同様に、Scene上にQuadをおいてください。

f:id:soramamenatan:20191223125602p:plain

getNormal

float3 getNormal(float3 pos) {
    float d = 0.001;
    return normalize(float3(
        sphere(pos + float3(d, 0, 0)) - sphere(pos + float3(-d, 0, 0)),
        sphere(pos + float3(0, d, 0)) - sphere(pos + float3(0, -d, 0)),
        sphere(pos + float3(0, 0, d)) - sphere(pos + float3(0, 0, -d))));
}

今回の記事はここがキモとなっています。
~~微分から自分は学びました~~

先に結論

先ほどのgetNormal関数は言ってしまえばこちらの距離函数を使った法線の公式を求めたものになります。

$\displaystyle {t} = (\frac{∂f}{∂x}, \frac{∂f}{∂y}, \frac{∂f}{∂z})$

そして、xの偏微分の定義が以下となるので、

$\displaystyle \frac{∂f(x, y, z)}{∂x} := \lim_{h \to 0}\frac{∂f(x + h, y, z) - ∂f(x, y, z)}{h}$

getNormal関数で求められるわけですが、理解できなかったので一から説明していこうと思います。

参考サイト様 hackerslab.aktsk.jp

偏微分を理解するには、まず微分からだと思うので簡単に解説していきます。

微分

微分は一言でいうと、グラフの傾きのことです。

ここに $y = x^2$ のグラフがあります。

微分とは何か？－中学生でも分かる微分のイメージ：より引用

次に上のグラフを0.5付近で拡大したものを用意しました。

微分とは何か？－中学生でも分かる微分のイメージ：より引用

この拡大したグラフで見て欲しいところは

曲線である $y = x^2$ のグラフの一部を拡大すると直線に見える
x = 0.5で拡大した際の $y = x^2$ の傾きはだいたい1である

以上の二つです。
直線にみえるやだいたい1といった数学らしくない曖昧なところがありますが、そこは後で説明します。

x = 1 の時の傾き

x = 1で拡大した際の $y = x^2$ のグラフになります。

微分とは何か？－中学生でも分かる微分のイメージ：より引用

xが1増えると、yが2増えているので傾きは2となります。

傾きを実際に出してみる

グラフだけだとわかりにくい部分があるので、計算してみます。

例えば、 $y = x^2$ のグラフにおけるx = 1.0 から x = 1.1までの変化の割合は

$\displaystyle {変化の割合} = \frac{{yの増加量}}{{xの増加量}} \\ = \displaystyle \frac{1.1^2 - 1.0^2}{1.1 - 1.0} \\ = \displaystyle \frac{0.21}{0.1} \\ \displaystyle = 2.1$

となるので、傾きは2.1となります。

次に、2点間の距離を縮めてみます。
$y = x^2$ のグラフにおけるx = 1.00 から x = 1.01までの変化の割合は

$\displaystyle {変化の割合} = \frac{{yの増加量}}{{xの増加量}} \\ = \displaystyle \frac{1.01^2 - 1.0^2}{1.01 - 1.0} \\ = \displaystyle \frac{0.0201}{0.01} \\ \displaystyle = 2.01$

となるので、傾きは2.01になります。
これを先ほど出したx = 1の時の傾きである2に近づけるため、増加量を減らしていきます。

傾きの証明

次は2点間の距離をhとして、変化の割合を求めます。

$\displaystyle {変化の割合} = \frac{{yの増加量}}{{xの増加量}} \\ = \displaystyle \frac{(1 + h)^2 - 1^2}{(1 + h) - 1} \\ \displaystyle = \frac{(1 + 2h + h^2) - 1}{(1 + h) - 1} \\ \displaystyle = \frac{2h + h^2}{h} \\ \displaystyle = 2 + h$

hに0.1を入れると2.1となり、hに0.01を入れると2.01となるので、傾きを実際に出してみるの見出しで出しているものが証明されました。

$y = x^2$ を微分する

一般のxの点における傾きを求めます

$\displaystyle {変化の割合} = \frac{{yの増加量}}{{xの増加量}} \\ \displaystyle = \frac{(x + h)^2 - x^2}{(x + h) - x} \\ = \displaystyle \frac{(x^2 + 2hx + h^2) - x^2}{(x + h) - x} \\ \displaystyle = \frac{2hx + h^2}{h} \\ \displaystyle = 2x + h$